在信號處理中,匹配濾波器可以用來解調基頻帶脈波信號,基頻帶脈波信號意指信號內容為同一波形信號乘上一個常數,在每個周期出現,每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其SNR (Signal Noise Ratio)為最大的,匹配濾波器需要事先知道
1.傳送的訊號
2.訊號的同步
才能解調出傳送的信號。
此外,匹配濾波器也可用於模式識別 、相似度測試(similarity measure)。
最高SNR證明[编辑]
假設
g(t):傳送訊號
w(t):可加性高斯白雜訊
x(t) = g(t) + w(t)
h(t):未知波形
y(t):解調結果
SNR = 信號瞬間功率 / Noise平均功率
信號瞬間功率
雜訊平均功率
4. 當
,
所以
(備註) 柯西-施瓦茨不等式
若
且
則
當
時,等號成立。
匹配濾波器頻率響應[编辑]
如果我們限制分母為1, 最大化
的問題可以被簡化為最大化分子.
於是可以使用 拉格朗乘數
![{\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }R_{v}h=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f54e23fe7fe78ad7bf2fd34dc69a9abff1bc1c0)
![{\displaystyle \ {\mathcal {L}}=h^{\mathrm {H} }ss^{\mathrm {H} }h+\lambda (1-h^{\mathrm {H} }R_{v}h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec9ed2ee95f5734375fc1daa27f913bbd01505a)
![{\displaystyle \ \nabla _{h^{*}}{\mathcal {L}}=ss^{\mathrm {H} }h-\lambda R_{v}h=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8e9ffa07b199c0285a8f1c841f7c142589e524)
![{\displaystyle \ (ss^{\mathrm {H} })h=\lambda R_{v}h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf23311a8d353ea34890309ee8ad410ff264d79)
![{\displaystyle \ h^{\mathrm {H} }(ss^{\mathrm {H} })h=\lambda h^{\mathrm {H} }R_{v}h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d45e89ca430bbd8fdf18997c1d37b045131b7d57)
因為
是一維, 他只有一個非零特徵值. 此特徵值=
![{\displaystyle \ \lambda _{\max }=s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4364934f29c7ff6a86e6e9be20d53940bcca2037)
![{\displaystyle \ h={\frac {1}{\sqrt {s^{\mathrm {H} }R_{v}^{-1}s}}}R_{v}^{-1}s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9756854fd8aa7ba14e68741245af51c5257e420b)
匹配濾波器模式辨識[编辑]
若欲偵測一特定信號 h[n],我們可以將h[n]時域反向並取共軛,當做濾波器。
一維信號
![{\displaystyle y[n]=x[n]*h^{*}[-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n-\tau ]h^{*}[-\tau ]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a7dbbc70a987baf2e472740df7bff3c0f0e948)
- x[n] :數入信號 ,h[n]:欲偵測的特定信號,且假設當
時, h[n]≠0
二維信號
![{\displaystyle y[m,n]=x[m,n]*h^{*}[-m,-n]=\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba48765c4ffe20ac3dceff7d138713c917df02c)
- 假設當
時, h[m,n]≠0
模擬結果:
未標準化而造成的計算誤差 y[n] = x[n]*h*[-n]
|
但由於卷積是線性的,當信號能量大,算出來的值也會跟著變大而有誤差,因此我們需要標準化。
標準化公式
一維信號
當
≠0
![{\displaystyle y[n]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ea43c9521aa2e1f0b0de58079a66c6cf291075)
![{\displaystyle {\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}x[n+\tau ]h^{*}[\tau ]} \over {\sqrt {\sum _{s=n+\tau _{1}}^{n+\tau _{2}}|x[s]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}|h[s]|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abda2bd785b51d85e4cf4de8581a8b5dd9d5a020)
當
=0
![{\displaystyle y[n]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea7af29dc141b92b8c17e52eaad64e2133fe2a)
二維信號
當
≠0
![{\displaystyle y[m,n]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96d76762c96bef1277001accf2d1ba8020c3c2a)
![{\displaystyle {\sum _{\tau =\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{\rho =\rho _{1}}^{\rho _{2}}x[m+\tau ,n+\rho ]h^{*}[\tau ,\rho ]} \over {\sqrt {\sum _{s=m+\tau _{1}}^{m+\tau _{2}}\sum _{v=n+\rho _{1}}^{n+\rho _{2}}|x[s,v]|^{2}\sum _{s=\tau _{1}}^{\tau _{2}}\sum _{v=\rho _{1}}^{\rho _{2}}|h[s,v]|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781fdf084ee49f0618035845cb3484a880f869f1)
當
= 0
![{\displaystyle y[m,n]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ca8bc3099515d601c048ef9b1576c34e83c38d)
標準化後的模擬結果:
標準化後可減少計算誤差
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參考文獻[编辑]
- Haykin,S. / Moher,M. Haykin: Communication Systems 5/E (中文).
- Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2015.